Расхожий стереотип о человеческой природе – разделение на «рациональных» физиков и «эмоциональных» лириков.
Однако это не вполне соответствует действительности. И музыка, которая кажется воплощением эмоциональности, как раз может это отлично проиллюстрировать.
«Вначале было число», – так можно начать рассказ о музыке. Идея того, что возможно «поверить алгеброй гармонию», по традиции приписывается Пифагору.
С древних времен музыка использовалась в ритуалах и мистериях разных народов, но до него никто не задумывался, почему какие-то музыкальные созвучия приятны на слух, а какие-то звучат резко и раздражают. Для своих экспериментов Пифагор использовал инструмент монохорд, который, опять-таки согласно традиции, сам и изобрел.
Хоть инструмент и называется монохорд, у него было две струны, одна с неизменным тоном, а другая при помощи нехитрого механизма меняла свое звучание по воле экспериментатора. Изменяя пропорциональное соотношение двух звучащих струн Пифагор пришел к основополагающему для всей истории музыки выводу – пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого звучания выражается числом!
Эта идея имела в то время отношение не только к музыке, но и к мирозданию в целом. Для Пифагора и его последователей пифагорейцев математика была божественной наукой, открывающей законы красоты Вселенной, и музыка была также причастной божественному.
Весь мир имел пропорции, а значит, звучал. Сегодня идея «гармонии сфер» воспринимается как красивая метафора, а в то время она имела вполне конкретный смысл: планеты издают звуки при движении, и эти звуки соотносятся друг с другом, как музыкальные созвучия.
По легенде Пифагор был единственным человеком, который слышал эту «небесную музыку», остальные же не способны ее воспринять, так как она звучит все время и люди привыкают к ней с рождения.
Логичным продолжением открытия Пифагора явилась идея разделения созвучий на консонансы и диссонансы. Без этих понятий музыка европейской традиции не могла бы состояться в том виде, в котором мы ее знаем.
Под консонансом понимается созвучие, вызывающее ощущение покоя, гармонии, устойчивости. С математических позиций консонансы выражаются более простым отношением чисел: чистая октава – 1/2, чистая квинта – 2/3, чистая кварта – 3/4.
Диссонансы же звучат беспокойно, резко, создают ощущение незавершенности и выражаются более сложным числовым отношением (например, большая септима – 8/15, малая секунда – 15/16). Следствием незавершенности явилась зависимость – диссонанс использовался только в связке с консонансом, то есть требовал разрешения.
С развитием теории музыки консонантность октавы и квинты сомнению не подвергалась, а вот по поводу остальных созвучий, или интервалов, в разное время возникали сомнения. К тому же система все время усложнялась, ведь чем больше голосов появлялось в сочинениях, чем сложнее становилась музыкальная ткань, тем в более сложные взаимоотношения вступали созвучия (уже не только собственно интервалы, но и аккорды) между собой.
Все эти нюансы и споры о них могли бы так и остаться в области музыкальной схоластики, но представления о консонансах и диссонансах были краеугольным камнем для музыкальной практики, для стилистики и звучания сочинений, написанных под влиянием тех или иных систем.
Начиная со Средневековья теоретическая мысль постепенно шла по пути «реабилитации» диссонанса, а затем и вовсе к его «раскрепощению» (то есть пониманию его уже не как зависимого от консонанса, а совершенно самодостаточного), что стало предпосылкой для развития музыки в ХХ веке.
Для сравнения можно послушать несколько сочинений, написанных в разные эпохи, с различным пониманием взаимоотношений диссонансов и консонансов. Эти примеры не отражают всех этапов развития этой теоретической идеи, но дают представление о том, насколько разная это музыка.
Имея представление о том, что звуки складываются в интервалы согласно своим пропорциональным отношениям, закономерно было начать попытки как-то все это систематизировать. Так появилась идея звукоряда (постепенно убывающей/прибывающей последовательности звуков, понимаемых в этом случае как ступеней – аналогия с лестницей вполне уместна) и музыкального строя (системы, определяющей принципы расчета, по которым эти ступени выстраивались относительно друг друга).
Таким образом стало возможным создать что-то вроде алфавита, перечня имеющихся звуков в звукоряде или гамме (это не полностью синонимы, но очень близкие понятия), при сочетании которых музыканты получали ожидаемые звуковые результаты.
История знает несколько основных строев, которые основывались на разных принципах, но все они имели свои недостатки и особенности и не были универсальными. Основной проблемой было то, что не удавалось найти такие пропорциональные отношения звуков, чтобы консонантные интервалы на любой высоте звучали «чисто».
Особенно это было важно для клавишных инструментов, так как они, в отличие от струнных, не позволяли по слуху скорректировать звучание «грязных» интервалов во время исполнения. Решение было найдено при помощи темперации – сужения или расширения интервалов по сравнению с чистыми, выведенными еще Пифагором.
Так появился равномерно темперированный строй, который господствует в европейской музыке с XVIII века и до настоящего времени. Помогли математические расчеты: октава была поделена на 12 равных отрезков-полутонов, что позволило полностью унифицировать звучание всех интервалов на любой высоте. Так стало возможным сочинять произведения в разных тональностях, а также легко переходить, то есть модулировать, из одной в другую, не боясь получить нежелательное плохо звучащее созвучие.
Одно из самых известных сочинений Баха – «Хорошо темперированный клавир» – уже самим своим названием указывает на то, что создано оно было в эпоху поисков универсального строя и действительно «хорошего» звучания «клавира», то есть клавишных инструментов.
Нет единого мнения о том, писал ли Бах свои произведения для нового равномерно темперированного строя или для близкого ему, но факт остается фактом – этот цикл стал весомым аргументом в пользу темперации.
По мнению многих современников этой реформы темперированные интервалы потеряли свою красоту и «чистоту», оказавшись «усредненными». Однако было много и сторонников, которые указывали на удобство практического применения, и в конечном итоге практика победила.
Измерять можно не только отношения между звуками, но и сам звук как физическое явление, это область музыкальной акустики. Звук – это волна, а высота звучания зависит от частоты колебаний. Существует специальная единица измерения этой частоты – Герц (Hz), названная в честь немецкого ученого Генриха Герца. 1 Герц – одно колебание в секунду.
Если музыкальный строй решал вопрос соотношений между звуками, то при помощи новой единицы измерения стало возможно установить значение камертона, то есть эталона высоты звука, применяемого для настройки инструментов. В качестве камертона обычно используется звук ля первой октавы.
На данный момент нет общепринятого стандарта, но наиболее распространенным для академической музыки с середины XIX века является ля 440 Hz. В целом можно сказать, что значение это имеет тенденцию к повышению. Например, музыка французского барокко исполнялась при ля 392 Hz, музыка Баха и большинства современников – 415 Hz, для венской классики и раннего романтизма было характерно значение 430 Hz.
Сейчас камертон продолжает повышение – многие оркестры настраиваются по эталону 442-443 Hz. Самое высокое значение на сегодняшний день в Вене, там настраивают ля 444-445 Hz. Эти особенности имеют прямое отношение к исполнению произведений, ведь чем выше настраиваются инструменты, тем более напряженно звучит музыка, да и музыкантам приходится больше напрягаться, особенно певцам.
Влияет это и на восприятие: более высокая настройка придает музыке более светлый колорит, более низкая – приглушенность, темный оттенок. Для сравнения звучания можно послушать два варианта одного и того же сочинения Баха, один в современной настройке, другой – в принятой сейчас для исполнения барочной музыки, где ля соответствует 415 Hz.
Математические закономерности имеют отношение не только к музыкальной вертикали (то есть что звучит в конкретный момент, какие сочетания звуков образуются), но и к горизонтали – как музыка организована во времени.
Метр в музыке играет ничуть не меньшую роль, чем в поэзии. В чередовании сильных и слабых долей проявляется математическая идея периодичности.
На микроуровне периодичность в музыке можно выразить довольно просто: через какое количество заданных единиц времени повторится сильная доля. Соответственно этому строятся музыкальные фразы и даже образуются целые жанры.
Например, за вальсом закрепился размер 3/4 (сильная доля + две слабых), за полькой 2/4 (сильная доля + слабая доля) и т.д. Конечно, жанр определяется не только размером, но этот параметр – один из основных.
На макроуровне периодичность в музыке тоже проявляется, но тут уже имеется в виду повторяемость более крупных отрезков, музыкальных построений, что в итоге образует форму сочинения в целом.
Если же вернуться на микроуровень и посмотреть на соотношения отдельно взятых нот в плане их протяженности во времени, то тут снова пропорциональность: если построить шкалу всех возможных вариантов по нисходящей, от самой длинной до самой короткой, то каждая следующая длительность будет ровно вдвое меньше, чем предыдущая.
Здесь, конечно, есть отклонения, например, деление ноты не на два, а на три, но такие примеры как раз и существуют благодаря заданной системе.
Еще два важных математических концепта имеют для музыки большое значение: золотое сечение и симметрия. Они важны для всего искусства в целом, именно эти два принципа лежат в основе произведений, интуитивно ощущаемых нами как наиболее гармоничные и совершенные с точки зрения формы.
Музыкальное произведение – это всегда процесс, развивающийся во времени, мы не способны воспринять его так же, как картину или скульптуру, охватить взглядом и увидеть пропорции и соответствия.
Но тем не менее удивительным образом золотая пропорция проявляется и здесь: очень часто главная кульминация произведения падает на точку золотого сечения, иногда буквально (если подсчитать такты), иногда очень близко к нему. Это сложно назвать случайностью, настолько это распространено.
Такая особенность не могла бы удержаться и закрепиться в практике, если бы не соответствовала восприятию музыкальной формы – так в ней ощущается логика и гармоничность. Конечно, есть и достаточное количество исключений, особенно в крупных произведениях, где могут работать другие закономерности и принципы, но тем не менее одно не отменяет другого.
Закон золотого сечения нашел свое отражение также в строении музыкальных инструментов, особенно струнных. Например, известно, что Страдивари, чьи инструменты являются эталонами красоты и прекрасных звуковых качеств, создавал свои творения по закону золотого сечения.
Симметрия также может проявляться и на уровне формы произведения, когда есть ось и от нее пьеса раскрывается, как книга. Но не меньшее значение имеет симметрия для внутреннего устройства музыкального материала, а точнее для его способности к развитию и трансформации.
К примеру, сложно представить себе полифоническую музыку без изменения основной темы, то есть главной мысли сочинения, обычно довольно кратко изложенной, по законам симметрии. Смысл полифонии в том, что музыкальная ткань складывается из линий или пластов, развивающихся самостоятельно и относительно независимо друг от друга.
Именно поэтому часто мы слышим полифонические произведения как своеобразные диалоги, когда все говорят одновременно, поочередно выходя с основной темой на первый план, а затем уходя в тень.
Так вот чтобы такой «диалог» получился, нужно сохранить общую тему (бывает их и несколько, но это уже разновидность), при этом иногда видоизменяя ее для разнообразия и динамики. Наглядно эти приемы изменения на основе принципа симметрии лучше всего проиллюстрирует известный магический квадрат:
Если представить, что слово TENET – это основная тема фуги, очень распространенного жанра полифонической музыки, то станут понятны и принципы трансформации этой темы на основе симметрии: есть основной вариант, читающийся слева направо, есть обратное движение или ракоход, читающийся справа налево, далее можно представить себе букву N как линию симметрии по вертикали и получить тему в обращении (инверсии), идущий сверху вниз, и соответственно ракоход инверсии, идущий снизу вверх.
Это основные приемы контрапункта, то есть сочетания голосов в полифонии, которые получили новую жизнь в музыке ХХ века. Начало этому положила Новая венская школа, а именно Арнольд Шёнберг, Альбан Берг и Антон Веберн.
Вообще музыка этих композиторов стала поворотом к рациональности в европейской музыке после периода романтизма, который можно назвать относительно более «эмоциональным». Сравните два сочинения: ранний «позднеромантический» Шёнберг, и его же музыка более позднего периода.
Даже не зная разницы в методе, использованном композитором, можно услышать, что музыка устроена по-другому, имеет другой характер и использует другой язык. Далее – сочинения Берга и Веберна, учеников и последователей Шёнберга.
В музыке ХХ века было много разных музыкальных направлений, основанных на рациональных математических принципах. Те же нововенцы активно использовали приемы, описанные при помощи магического квадрата, этот символ даже был высечен на могиле Веберна.
С развитием компьютеров и электронной музыки математический компонент в музыке только усилился. Можно назвать многих композиторов, двигавшихся в этом направлении, назовем только некоторых. При помощи электроники создавал многие свои сочинения выдающийся новатор и продолжатель идей Шёнберга Карлхайнц Штокхаузен.
Спектральная музыка – еще один пример применения компьютеров. Этот метод основан на анализе звукового спектра и дальнейших манипуляциях с результатами этого анализа, которые потом становятся основой сочинения. Авторы-спектралисты: Жерар Гризе и Тристан Мюрай.
Янис Ксенакис был создателем стохастической музыки. Таким термином композитор описывал свой метод композиции, при котором музыка основывается на законах вероятностей и законах больших чисел.
К слову, Ксенакис был не только музыкантом, но и выдающимся инженером и архитектором, работавшим в мастерской Ле Корбюзье и участвовавшим в создании многих известных проектов. В том числе им был разработан проект павильона Филипс для всемирной выставки ЭКСПО-58 в Брюсселе, получивший название «Электронная поэма». Интересен этот павильон был не только своей формой, но и тем, что в нем звучала музыка самого Ксенакиса в соавторстве с Эдгаром Варезом, еще одним выдающимся композитором-новатором.
Тема связи музыки и внутренне родственной ей математики далеко не исчерпывается этим небольшим обзором. Нужно сказать главное: рациональность в музыке так же важна, как и эмоциональность. Многие математические закономерности присутствуют в музыке имплицитно, другие же привносятся композиторами извне и становятся основой методов работы с материалом и чертами авторского стиля.
Стоило бы пересмотреть наше представление о том, что музыка приходит композитору исключительно по наитию: создание произведения – это труд, который требует рационального мышления. Моцарт не был бы Моцартом, если бы не мыслил так же хорошо, как «сухой теоретик»
Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики прошлого: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д’Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта – “Compendium Musicae” (“Трактат о музыке”); первая крупная работа Леонарда Эйлера – “Диссертация о звуке”
