Невозможные объекты – феномен, который не может существовать, но который мы можем увидеть. Они завораживают воображение и дразнят зрителя своим таинственным очарованием. Они проливают свет на нечто особенное в процессе зрительного восприятия, то, как наш мозг вынужден сталкиваться с ситуацией зрительного конфликта, с которым он никогда не встречается в реальном мире.
Первыми, кто посвятил себя изучению невозможных объектов были Оскар Реутерсвард и М.К. Эшер.В 1985 году, когда Зенон Кульпа работал над статьей “Наведения порядка в невозможном” о классификации невозможных объектов, я отправил ему несколько новых рисунков. Его реакция была следующей:
“Чем больше открывается невозможных объектов, тем сложнее становится организовывать их в стройную систему”. Кульпа начал с разделения всех двухмерных объектов допускающих трехмерную интерпретацию на четыре категории:
- Возможные объекты (Possible objects). Такие объекты воспринимаются ГЛАЗом как возможные представления трехмерных объектов. При дальнейшем рассмотрении, наш разум полагает, что такие объекты реализуемы в трех измерениях.
- Правдоподобные объекты (Probable objects). ГЛАЗ считает объект трехмерным, однако, при ближайшем рассмотрении становится ясно, что такой объект не может быть реализован в трех измерениях. Примером может служить усеченная пирамида на рисунке 3. ГЛАЗ немедленно сообщает, что это усеченная пирамида, хотя очень просто можно продемонстрировать, почему данный объект невозможен: если продолжить три грани пирамиды, то они не встретятся в одной вершине.
- Однако даже после такого рационального объяснения мы не может убедить наш ГЛАЗ видеть в этом рисунке что-то невозможное, и по этой причине данная пирамида не может названа невозможным объектом. Если вернуться к определению невозможного объекта в конце прошлой главы, вы увидите, что именно ГЛАЗ решает может ли объект быть отнесен к категории “невозможных объектов”.
- Неправдоподобные объекты (Improbable objects). Первой реакцией ГЛАЗА является – невозможно! Но как только будет предложена пространственная реализация с другого ракурса, ГЛАЗ реагирует, конструируя удовлетворительный результат. Примером может служить небольшой брусок на рисунке 4. Если мы сообщим ГЛАЗУ, что в бруске сделан вырез под наклоном, он примет эту информацию и продолжит нормально работать, если мы, например, также предоставим трехмерную модель этого “невозможного” блока.
- Невозможные объекты. ГЛАЗ немедленно определяет пространственные противоречия, существующие в фигуре, которые будут подтверждены позже рациональным мышлением. И ГЛАЗ и разум полагают объект невозможным. В данном случае – это истинный невозможный объект. Данные размышления приводят нас к вопросу: существует ли объективный критерий, который можно использовать для выяснения, является ли объект невозможным? Были предприняты разнообразные эксперименты в попытках создать чисто математическую основу, критерий, который позволил бы определить и классифицировать невозможные объекты. Не удивительно, что данные попытки провалились, так как здесь ГЛАЗ играет важную роль, и механизм работы ГЛАЗА, развивавшийся в процессе эволюции, чтобы дать человеку больше шансов на выживание, не работает по простым математическим законам.
Познакомившись более подробно с процессом “принятия решения” ГЛАЗом, нам будет легче обсуждать следующий материал. Давайте сделаем следующее упражнение:
Представьте горизонтальную плоскость S, проходящую сквозь объект, которая изображена на рисунке 6a горизонтальной линией, пересекающей треугольник. Закройте листом бумаги часть объекта, находящуюся ниже линии и нарисуйте сечение плоскостью S верхней части фигуры. Затем закройте верхнюю часть фигуры и нарисуйте сечение плоскостью S нижней части фигуры. Если два наброска сечений отличаются хоть в чем-то, значит мы имеем дело с невозможным объектом. В данных случаях, ГЛАЗу ясно, что фигура состоит взаимно исключающих друг друга частей.
Чтобы продемонстрировать практическую пользу данного метода для обнаружения несовпадающих, и, следовательно, невозможных сечений, ниже представлены несколько примеров: двухбалочних Эрнста (рисунок 6b), нормальный четырехбалочник (рисунок 6c), невозможный куб (рисунок 6d) и невозможный камертон (рисунок 6e). Данный метод менее полезен в случае правдоподобных объектов: например, если вы проведете данный эксперимент с усеченной пирамидой с рисунка 3, вы получите одинаковые сечения.
Между тем, мы до сих пор не приблизились к созданию системы категорий “настоящих” невозможных объектов. Зенон Кульпа не пришел к каким-либо выводам. Он вынужден был создать набор пересекающихся категорий, составленных из мешанины разнообразных критериев. Лишь категории “многоплоскостные” и “объекты с параллельными брусками” предполагают какое-то полезное разделение объектов.
В данной главе мы также будет избегать конкретных классификаций объектов. Мы предложим лишь неполный обзор, в котором группировка объектов не претендует на завершенность. Наша цель лишь провести ясный и логичный обзор по данному предмету.
Обманчивое заполнение плоскости невозможными трибарами
На первый взгляд композиция Реутерсварда имеет ряд сходств с картиной Эшера “Cubic division of space”, созданной им в 1952 году. Но, фактически, картина Реутерсварда представляет сеть невозможных трибаров, в которой большие кубы висят как прозрачный занавес на переднем плане, никак не связанный с кубами на второй линии. Те кубы, в свою очередь, выглядят как вторая занавеска позади первой, за которой следует третья – с еще меньшими кубами.
Hermann Paulsen использует изогнутую сеть трибаров (рис. 1) для представления заполнения сферического объема. Уменьшение размеров трибаров ближе к краям создает эффект сферы.
Перекрывающиеся плоскости
Мы уже упоминали, что пространственные противоречия в невозможном трибаре могут быть сведены к базовым принципам стереометрии, а именно к тому, что три непараллельные плоскости должны пересекаться в одной точке. На рисунке Оскара Реутерсварда (рисунок 2) мы видим три таких плоскости, формирующих прямой угол. Если мы продолжим эти плоскости дальше разрыва в центре, ограничивающего их, мы обнаружим, что они пересекаются в разных точках. Это несоответствие остается незамеченным, так как у плоскостей отпилено по углу. Получившееся отверстие представляет собой невозможный объект. Шесть плоскостей на рисунке Dirk Huizer (рисунок 5) не содержат в себе никаких проблем. Их невозможное расположение становится невозможным в силу того, что они соединены невозможным трибаром. Не смотря на простоту композиции, картина предлагает непостижимо мистическое представление иллюзорного пространства.
Однобалочник, двухбалочник и что-то между
Возникает вопрос, может ли вообще существовать невозможный однобалочник. На рисунке 8 сверху показан обычный брусок, ниже – брусок у которого оба среза видны, а внизу брусок, у которого ни одного среза не видно. Два последних – естественно невозможны, но ГЛАЗ определяет их как бруски, у которых концы срезаны под углом. Поэтому, согласно нашей классификации, приведенной выше, они не являются невозможными объектами.
Рисунок 9. Зенон Кульпа, “2.5-мерный брусок”
В картине Сандро дель Прете “Врата в четвертое измерение” (рисунок 12) автор, тем не менее, находит способ составить из таких брусков невозможные объекты путем добавления дополнительных пространственных деталей. Все четыре бруска направлены от нас, и из всех объектов, видимых на картине, фигура женщины находится ближе всего к нам. Все бруски обладают еще одним любопытным свойством: каждая грань бруска одновременно имеет и горизонтальную и вертикальную ориентацию в зависимости от того, с какой стороны их рассматривать. Эта особенность подчеркивается надписями на гранях. На рисунке 7 совершенно нормальный брусок становится невозможным вследствие своего размещения относительно других брусков: он проходит между двумя другими брусками, между которыми нет пространства для третьего бруска, так как их ребра плотно склеены друг с другом. Объект на рисунке 9 был открыт Зеноном Кульпой. На первый взгляд нам кажется, что мы видим два параллельных бруска, но в правой части один из брусков теряется в тени своего соседа. Наверное, эту фигуру лучше всего назвать полуторабалочником.
В случае двухбалочника Эрнста (рисунок 10) прямоугольное сечение в середине раскрывает двойственную ориентацию фигуры. Фигура выглядит вертикальной на переднем плане, и горизонтальной – на заднем. Ее интерпретация определяется пространственной информацией, получаемой от взаимной ориентации концов двух брусков.
Картина Сандро дель Прете “Cosmic wheels” (рисунок 11) также может рассматриваться как невозможный (искривленный) двухбалочник. Картина имеет определенное сходство с работой Эшера “Cube with magic bands” (рисунок 16).
Невозможные комнаты
Рисунок 14. Жос де Мей (после Бруно Эрнста), разукрашенный рисунок тушью, 27×19.5 см, 1985
Я нарисовал постер “Fifty Years Impossible Figures” (рисунок 13) к юбилею Оскара Реутерсварда. Отверстие в верхнем углу комнаты – невозможное, так как три плоскости (две стены и потолок) не встречаются в одной точке. Первый невозможный объект Реутерсварда (невозможный треугольник, составленный из девяти кубиков), изображен как парящий объект на заднем плане. Когда Жос де Мей увидел данный постер, он нарисовал на его основе свою, чисто фламандскую, версию данной композиции для рождественской открытки (рисунок 14). Треугольник Реутерсварда заменен двумя переплетенными трибарами, и картина показана скорее в центральной, а не в ложной перспективе.
Странные комнаты на рисунках 15 и 16 снова основываются на том факте, что три плоскости пересекаются более чем одной точке. В обеих картинах это приводит к тому, что боковые стены повернуты к нам. Более того, на рисунке 15 одна сплошная стена исчезает в воздухе, хотя иллюзия комнаты, тем не менее, остается очень убедительной.
Трибары: одиночные и связанные со своим окружением.
Невозможный трибар может быть персонажем картины без каких-либо приспособлений, как показано на рисунке Dirk Huizer (рисунок 17).
С другой стороны, на рисунках 18-20 окружение, в котором находится трибар, играет важную роль. На рисунке 18 показан невозможный трибар, установленный в холле квартиры. Реутерсвард немедленно ответил на данное изображений своим вариантом (рисунок 19), в котором конец трибара частично загорожен потолочной балкой, таким образом, изменив линию тени, которую он отбрасывает. Вдохновленный этим, я нарисовал рисунок 20. Я добавлен еще несколько невозможных элементов в комнату, которая теперь преобразовалась в музейную галерею невозможных объектов, с картинами развешанными по стенам. Но, понятно, что существуют серьезные проблемы с показом на выставке “реального невозможного трибара”.
Рисунок 19. Эрнст/Реутерсвард
Рисунок 20. Бруно Эрнст
На рисунке 21 показана вариация обычного невозможного трибара в обстановке, позаимствованной с рисунка Макалея (Macaulay). На нем показана поверхность Луны в 2034 году в момент придания заключительных штрихов монументу, посвященному празднованию 100-летия открытия невозможного трибара.
Невозможные мультибары
На рисунке 22 представлена сплошная рамка, находящаяся выше и левее относительно точки зрения зрителя. С этого угла каждый угол выглядит по-разному, так что все типы углов можно пронумеровать цифрами от 1 до 4.
На рисунке 22 представлена сплошная рамка, находящаяся выше и левее относительно точки зрения зрителя. С этого угла каждый угол выглядит по-разному, так что все типы углов можно пронумеровать цифрами от 1 до 4.
Рамка может быть описана данными числами (1234). Используя углы в разных комбинациях, мы можем построить рамки, в которых ГЛАЗ будет обнаруживать противоречивые пространственные отношения. Две фигуры в правой части рисунка 22 показывают невозможные четырехбалочники. Один из них имеет комбинацию углов (4444), второй – (4141). Используя данный принцип, без труда можно объединить более чем четыре бруска в невозможную фигуру.
Заметим, однако, что мультибары (многобалочники), созданные таким способом, менее привлекательны в качестве невозможных объектов, чем невозможный трибар и четырехбалочник. Во-первых, предположение наличия прямых углов в невозможном объекте, то есть расположения брусков перпендикулярно друг к другу, служит ГЛАЗу отправной точкой для определения направлений в пространстве, и любые противоречия в данном случае будут более очевидны. Однако, стороны мультибара всегда соединяются по углом большим, чем 90 градусов, и направления в пространстве определить сложнее. Во-вторых, чем больше брусков и линий в объекте, тем менее бросаются в глаза противоречия. Однако, создавать мультибары очень просто. На рисунке 23 мы видим один пятибалочник (13143), один шестибалочник (444444) и искривленный двухбалочник (44), с которым мы встречались ранее на рисунке 11.
Четырехбалочники
Четырехбалочник в его классической форме изображен на рисунке 31. Он относится к типу (3441), а его представление, как будто он составлен из строительных блоков, придает ему реалистичности. Площадь его поверхности и объем могут быть посчитаны: 76 дм2 и 19 дм3.
Мы можем проэкспериментировать с этой фигурой также, как с невозможным трибаров в главе 4. Тем временем, рисунок 30 предоставляет нам все части, которые вам необходимы для построения невозможного четырехбалочника. Вам только нужно закрутить винты!
Композиция невозможного четырехбалочника с обычных четырехлучевым крестом подчеркивает тот факт, что верх и низ четырехбалочника перпендикулярны друг другу. Невозможный струнный инструмент Дирка Хуизера (Dirk Huizer) состоит из невозможных трех-, четырехбалочников и нормального четырехбалочника.
Композиция невозможного четырехбалочника с обычных четырехлучевым крестом подчеркивает тот факт, что верх и низ четырехбалочника перпендикулярны друг другу. Невозможный струнный инструмент Дирка Хуизера (Dirk Huizer) состоит из невозможных трех-, четырехбалочников и нормального четырехбалочника.
Четырехбалочник можно также быть мегалитическим монументом (рисунок 27). Пейзаж снова позаимствован из рисунков Макалея (Macaulay). Повседневные объекты, в свою очередь, могут быть объединены в невозможные объекты, путем перекрытия друг друга невозможными способами (рисунки 26 и 28).
Мультибары как головоломки
Были созданы разнообразные головоломки, которые позволяют игроку создавать возможные и невозможные трех-, четырехбалочники и др. Наиболее очевидный вид головоломки – пазл, состоящий из шестиугольников, на которых изображены все возможные варианты углов, стыкующихся друг с другом.
Диего Урибе (Diego Uribe) разработал более умное решение, открыв больше возможностей для создания фигур с меньшими усилиями. Он не использует формы углов целиком, а вместо этого лишь отдельные элементы брусков, которые он расположил по краям равносторонних треугольников. Есть возможность создать любой мультибар всего из тридцати двух невозможных треугольников (рисунок 32), и не только те мультибары, с которыми мы встречались до этого, но и фигуры, в которых в одном углу встречаются более двух брусков, как, например, в кубоидах. Существует только одно ограничение: возможны только перпендикулярные соединения брусков. На рисунке 33 показано, как из отдельных элементов собрать невозможный четырехбалочник. На рисунке 34 показана более сложная форма, в которой три бруска встречаются в одном углу.
Кубоиды
Эшер первым нарисовал “невозможный кубоид” (см. главу 6). Как и в случае с мультибарами, большой набор кубоидов может быть создан, комбинируя различные типы углов (рисунок 35). На рисунках 36-42 показана несколько вариаций на тему невозможного кубоида.
Лестницы и шахматные доски
Рассмотрим рисунок 43. Если мы пойдем через центр картины, которая, фактически, является невозможным дверным проемом, мы останемся на той же горизонтальной плоскости, на полу покрытым плитками. Однако если мы посмотрим налево, нашим путем следуют несколько ступенек.
Мы видим тот же эффект на фотографии шахматной доски (рисунок 44). Если мы пойдем от белого коня мимо ладьи к королю, мы останемся на том же уровне, что и были. Однако если мы пойдем напрямик от белого коня к королю, окажется, что король находится выше чем конь. Тем не менее, в реальности они находятся на одной плоскости.
На рисунке 45, созданным Fred van Houten, совмещены несколько невозможностей. Например, возьмем лестницу: внизу она стоит напротив стены, а вверху она сбоку от нее. Эшер аналогичным образом использовал лестницу в своей литографии “Бельведер” (глава 6, рисунок 18).
Множественные плоскости
Множественная плоскость выглядит как единая плоская поверхность при просмотре ее с одной точки зрения, но при взгляде с другой точки все же кажется, что она состоит из двух плоскостей и более. Это самый старый тип невозможного объекта, как мы убедимся в этом в следующей главе. Она появляется непреднамеренно и неосознанно в работах художников, работавших гораздо раньше, чем были открыты невозможные объекты. Рисунок 48 демонстрирует нам, как может быть создана множественная плоскость.
Сверху мы видим арку, стоящую на плиточном полу. Согласно разметке пола, представленной в левом нижнем углу, мы видим, что левая опора арки упирается в квадрат черного цвета, а правая – на квадрат с цифрой 2. Давайте перерисуем ту же арку так, чтобы правая колонна стала немного короче и заканчивалась на квадрате 3.
Мы создали невозможный объект: кажущаяся плоской арка имеет две базовые линии a и b, и это невозможно. Мы можем продолжать уменьшать правую опору арки, так что она будет достигать квадрата 5.
Арка теперь стала частью невозможного четырехбалочника, созданного другим методом, чем тот, что описан ранее.
На картине Жоса де Мея (рисунок 49) верхняя часть стены с ромбовидными отверстиями сформирована одной плоскостью. Однако, внизу та же плоскость разбивается на четыре стены на разном расстоянии от зрителя, охватывая достаточно больше пространство, как будто это беседка.
На рисунке 49 мы видим, как одна грань куба дублирует сама себя, образуя пространство для меньших кубов.
Лестницы
На рисунке 51 показана лестница, придуманная Реутерсвардом, к которому я добавил несколько фигур для усиления невозможности.
Смотря на лестничный пролет, мы сначала решаем, в каком направлении мы желаем двигаться. Выбрав направление, пространственные подсказки помогают решить, куда направлена лестница – вверх или вниз.
Направление контура лестницы в данном случае не играет никакой роли (рисунок 53). Сравнительно несложно нарисовать набор лестниц, идущих в одном направлении, поднимаясь или спускаясь без конца. Источник пространственной путаницы, посеянной набором лестниц в левой части рисунка 52, раскрывается на рисунке обычной лестницы в правой части.
Плоскости с двумя ориентациями
Удивительособами орно достичь, пройдя всего две ступеньки, если двигаться слева. Однако, если двигаться по центру, то уже понадобится взобраться на три ступеньки, и на пять ступенек, если идти справа. Лестница, ведущая к храму, фактически, составлена из трех вытянутых “прямоугольников”, расположенных вдоль двух разных направлений. Этим создается эффект непосредственной близости плоскости с левой стороны как вертикальной, и горизонтальной – с правой стороны.
Хотя плоскость и не деформирована, ГЛАЗ вычисляет двумя разными способами ориентацию на основе соединения деталей. Подобная ситуация возникает на картине Реутерсварда “Layered blocks” (рисунок 56)
Круговая лестница Пенроуза
В 1985 году Роджер Пенроуз создал комбинацию из пяти невозможных кубоидов. На рисунке 57 представлен один из вариантов. Лестничные пролеты идут от одного куба к другому, но если мы отправимся путь по кругу в вертикальном положении, то вернемся в исходную точку в горизональном. Все возвращается в норму, если использовать шесть кубов, но данный феномен появляется вновь в случае с семью кубами
От двойственных фигур к невозможным объектам
Ромб, как на картине Сандро дель Прете “Шахматная доска” (рисунок 59), – двойственная фигура. Это квадрат видимый снизу или сверху. Расположение шахматных фигур и лестниц создает невозможную ситуацию с двумя интерпретациями “сверху” и “снизу”, представленными одновременно во взаимном противоречии. Странность данной ситуации становится ясной, если мы будем перемещать белую ладью по одной клетке “вверх по диагонали” вдоль границы доски.
Похожий пример трансформации двойственной фигуры в невозможный объект представлен на рисунке 58. Рассмотрим окно как таковое. Оно может смотреть на запад, если смотреть на него сверху, и на юг, если смотреть снизу. Обе интерпретации усилены второстепенными пространственными подсказками – декорациями на подоконнике, орнаментом в верхней части окна и двумя раздельными перекладинами, формирующими крестовину окна. Две несовместимые точки зрения слиты друг с другом фигурами, которые мы видим внутри дома: мы можем осознать композицию целиком и по отдельности сверху или снизу.
Конфликт контуров
Вашему вниманию предлагается тип невозможного объекта, в котором материя растворяется в воздухе. Такой тип объектов еще называется “вилкой дьявола”. Невозможный камертон на рисунке 54 имеет, фактически, только одно цельное плечо, поэтому звуковые волны исходят из тени этого невозможного объекта. Некоторые подсвечники канделябра на рисунке 61, аналогичным образом, не существуют. Также невозможно двум стрелам на рисунке Реутерсварда (рисунок 60) иметь четыре конца. Сколько брусков содержится в данной фигуре – два или три? Ни в коем случае не четыре!
